Giới hạn của dãy số: lý thuyết, công thức, bài tập có lời giải

Bài viết này, boxthuthuat sẽ chia sẻ với các bạn những lý thuyết quan trọng phần giới hạn của dãy số, kèm những công thức tính toán, những bài tập giới hạn dãy số có lời giải chi tiết, giúp bạn dễ dàng nắm vững phần kiến thức này!

Lý thuyết giới hạn của dãy số

Dãy số có giới hạn 0

Dãy số (u_n ) có giới hạn bằng 0, Kí hiệu: lim (u_n ) = 0 hay lim u_n = 0, nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.

Hay: lim u_n = 0 nếu u_n có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.

Hoặc lim u_n = 0 ⇔ ∀ ε > 0  nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên n₀ sao cho |u_n| >ε ∀ n > n₀

Tính chất: 

Định lý: Cho 2 dãy số u_n, v_n:

Dãy số có giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Dãy số (u_n ) có giới hạn là số thực L, ký hiệu: lim (u_n ) = L nếu lim (u_n – L) = 0

lim (u_n ) = L ⇔ (u_n – L) = 0

Các định lý: 

• Cho (u_n ) mà u_n = c, ∀n: lim u_n = c

• Dãy số (u_n ) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
• Dãy số (v_n ) giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn

Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

Dãy số có giới hạn vô cực

Dãy số có giới hạn +∞

Dãy số có giới hạn (u_n ), ký hiệu lim u_n = + ∞, nếu với mọi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó

Hệ quả:

Dãy số có giới hạn – ∞

Dãy số có giới hạn (u_n ), ký hiệu lim u_n = – ∞, nếu với mọi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó

Các quy tắc tìm giới hạn vô cực 

• Quy tắc nhân 

• Quy tắc chia

Tham khảo thêm: 

• Giới hạn hàm số

Các dạng bài tập về giới hạn dãy số có lời giải

Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số

Phương pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất và các định lý về giới hạn của dãy số

Dạng 3: Chứng minh lim u_n tồn tại

Phương pháp giải: Sử dụng định lý

• Dãy số (u_n ) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
• Dãy số (v_n ) giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn

Dạng 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Dạng 5: Tìm giới hạn vô cực

Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực

Trên đây là những chia sẻ về giới hạn của dãy số kèm những dạng bài tập, ví dụ có lời giải cho từng trường hơp. Hi vọng qua những chia sẻ này, bạn sẽ dễ dàng giải được các bài tập về giới hạn dãy số.