Phương trình Elip: Lý thuyết, công thức, các dạng bài tập

Phương trình Elip là phần kiến thức cuối của hình học lớp 10. Phần kiến thức này cũng khá nhiều nhưng tương đối dễ hiểu và dễ nhớ. Bài viết này, Boxthuthuat sẽ chia sẻ với các bạn những lý thuyết cơ bản, công thức, các dạng bài tập phương trình Elip

Contents

1 Phương trình Elip
2 Các dạng bài tập và phương pháp giải

Phương trình Elip

Định nghĩa

Cho 2 điểm cố định F₁, F₂ và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F₁F₂. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F₁M + F₂M = 2a

Các điểm F₁ và F₂ gọi là tiêu điểm của Elip. Độ dài F₁F₂= 2c gọi là tiêu cự của Elip.

Phương trình chính tắc của Elip (E)

Cho Elip (E) có các tiêu điểm F₁(-c; 0) và F₂(c; 0). Điểm M thuộc Elip khi và chỉ khi MF₁ + MF₂ = 2a.

Trong đó: b² = a² – c²

Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của Elip (E)

Xét Elip (E) có phương trình (1):

Nếu điểm M(x; y) thuộc (E) thì các điểm M₁(-x; y), M₂(x; -y) và M₃(-x; -y) cũng thuộc (E).

Do đó (E) có các trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc O

Thay y = 0 vào (1) ta có: x = ± a, suy ra (E) cắt Ox tại 2 điểm A₁(-a; 0) và A₂(a; 0)

Thay x = 0 vào (1) ta có: y = ± b, suy ra (E) cắt Oy tại 2 điểm B₁(0; -b) và A₂(0; b)

Các điểm A₁, A₂, B₁, B₂gọi là các đỉnh của elip

Đoạn thẳng A₁A₂ gọi là trục lớn, đoạn thẳng B₁B₂ gọi là trục nhỏ của elip

Các thành phần của phương trình Elip

– Hai tiêu điểm: F₁(-c; 0) và F₂(c; 0)

– Bốn đỉnh: A₁(-a; 0), A₂(a; 0), B₁(-b; 0), B₂(b; 0)

– Độ dài trục lớn: A₁A₂ = 2a

– Độ dài trục nhỏ: B₁B₂ = 2b

– Tiêu cự: F₁F₂= 2c

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Lập phương trình chính tắc của một elip khi biết các thành phần đủ để xác định elip đó

Phương pháp:

Từ các thành phần đã biết, áp dụng công thức liên quan, ta tìm được phương trình chính tắc của elip.
Lập phương trình chính tắc của Elip theo công thức:

Ta có các hệ thức:

– 0 < b < a

– c² = a² – b²

– Độ dài trục lớn: A₁A₂ = 2a

– Độ dài trục nhỏ: B₁B₂ = 2b

– Tiêu cự: F₁F₂= 2c

– MF₁ + MF₂ = 2a

Ta có tọa độ các điểm đặc biệt của Elip (E)

– Hai tiêu điểm: F₁(-c; 0) và F₂(c; 0)

– Bốn đỉnh: A₁(-a; 0), A₂(a; 0), B₁(-b; 0), B₂(b; 0)

Dạng 2: Xác định các thành phần của một Elip khi biết phương trình chinh tắc của Elip đó

Phương pháp:

Từ đó tính cách thành phần theo các hệ thức của dạng 1.

Trên đây là những kiến thức về phương trình Elip. Nhìn chung các kiến thức này khá dễ nhớ, do vậy hãy cố gắng nắm vững để giải các bài tập phần này nhé!